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微积分的应用

来源:红黑大战2019-04-04 09:43

摘要:

  摘要:微积分是微分学和积分学的合称,产生于17世纪后半期,基本完成于19世纪,它不仅是分析学的基础部分,而且是现代数学的基础部分,在各领域中有着广泛应用.本文主要研究微积分在力学、经济、几何方面的应用.  关键词:微积分泰勒公式应用  1.(带皮亚诺型余项的)泰勒公式其应用  定理若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数,那么  f(x)≈f(0)+f′(0)x+x+…+x+R(x)  R(...

  摘要:微积分是微分学和积分学的合称,产生于17世纪后半期,基本完成于19世纪,它不仅是分析学的基础部分,而且是现代数学的基础部分,在各领域中有着广泛应用.本文主要研究微积分在力学、经济、几何方面的应用.


  关键词:微积分泰勒公式应用


  1。(带皮亚诺型余项的)泰勒公式其应用


  定理若f(x)在x=0点有直到n+1阶连续导数,那么


  f(x)≈f(0)+f′(0)x+x+…+x+R(x)


  R(x)=0(x)


  这就是函数f(x)在x=0点附近关于x的幂函数展开式,也叫泰勒公式,式中R(x)叫做皮亚余项。


  下面举例说明带皮亚诺型余项的泰勒公式的应用.


  例1.求


  解:由于cosx=1-++0(x)


  e=1+(-)+(-)+0[(-)]=1-++0(x)


  从而cosx-e=-+0(x)


  于是===-


  2.在微分方程中的应用


  例2。设函数f(u)具有连续导数,而z=f(esiny)满足+=ez,求f(u)。


红黑大战  分析:设z=f(u),u=esiny,用一个中间变量代替两个自变量。


  解:设z=f(u),u=esiny,则=f′(u)=f′(u)esiny


  =f″(u)esiny+f′(u)esiny,=f′(u)ecosy


  =f″(u)ecosy-f′(u)esiny


  +=f″(u)esiny+f″(u)ecosy=f″(u)e=ez


  即得f″(u)-f(u)=0,这是关于未知函数f(u)的二阶常系数线性齐次微分方程.


  特征方程:r-1=0,r=-1,r=1,通解为f(u)=ce+ce。


  3。积分在几何中的应用


  例3.求椭圆+=1所围成图形的面积.


  解:因为椭圆关于两坐标轴都对称,所以椭圆面积应等于其第一象限面积的四倍.这样,椭圆面积A=4ydx=4dx=4bdx


  用换元法,令x=asint,则dx=acostdt。且x=0时t=0;x=a时t=,从而


  A=4abcostdt=4abcostdt


  =2ab(1+cos2t)dt=2ab=πab


  4.在经济中应用最大利润问题


  例4.某公司投资2000万元,建成一条生产线,投产后,其追加成本和追加收入(分别是成本函数和收入函数对时间t的变化率,类似于边际函数概念)分别为G(t)=5+2t(百万元/年)Φ(x)=17-t(百万元/年).试确定该生产线使用多长时间停产可使公司获得最大利润?最大利润是多少?


  解:容易看出,追加成本G(t)是单调增函数而追加收入Φ(x)是单调减函数,这说明生产费用在逐年增加,而生产收入在逐年减少,二者之差即为生产利润随时间的变化率:


  G(t)-Φ(x)=17-t-5+2t=12-3t


  与边际成本和边际收入的关系相同,这里生产利润的最大值在的必要条件也是G(t)=Φ(x).


红黑大战  解之得t=8,由于生产利润对时间的二阶导数=[Φ(x)-G(t)]′=-2t<0,因此上述t=8是生产利润的最大值点.这样,生产利润的最大值(单位:百万元)为


  [Φ(x)-G(t)]dt-20=12-3tdt-12


  =38。4-20=18。4百万元


  即生产线应用在使用8年后停产,此时公司总利润为1840万元.


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